题目内容

若函数f(x)=在[1,+∞)上为增函数.
(Ⅰ)求正实数a的取值范围.
(Ⅱ)若a=1,求征:( n∈N*且n≥2 )
【答案】分析:(Ⅰ)先求函数f(x)的导数,因为函数f(x)=在[1,+∞)上为增函数,所以在[1,+∞)上导数大于等于0恒成立,就可根据x的范围求出a的范围.
(Ⅱ)因为f(x)=在[1,+∞)上为增函数,所以n≥2时:f()>f(1),因为f(1)=0,所以,n≥2时:f()>0,就可得到,进而证明成立,再利用导数判断y=lnx-x在[1,+∞)上为减函数,就可得到n≥2时,ln=1+(n≥2),
进而证明
解答:解:(Ⅰ)由已知:f'(x)=
依题意得:≥0对x∈[1,+∞)恒成立
∴ax-1≥0对x∈[1,+∞)恒成立
∴a-1≥0即:a≥1
(Ⅱ)∵a=1
∴f(x)=
∵f(x)在[1,+∞)上为增函数,
∴n≥2时:f()=
即:

设g(x)=lnx-x  x∈[1,+∞),
对x∈[1,+∞)恒成立,
∴g(x)在[1+∞)为减函数,∵>1
∴n≥2时:g()=ln-<g(1)=-1<0
即:ln=1+(n≥2)
∴lnn=
综上所证:(n∈N*且≥2)成立.
点评:本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,以及借助函数的单调性证明不等式成立,属于导数的应用.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网