题目内容
若函数f(x)=
(Ⅰ)求正实数a的取值范围.
(Ⅱ)若a=1,求征:



【答案】分析:(Ⅰ)先求函数f(x)的导数,因为函数f(x)=
在[1,+∞)上为增函数,所以在[1,+∞)上导数大于等于0恒成立,就可根据x的范围求出a的范围.
(Ⅱ)因为f(x)=
在[1,+∞)上为增函数,所以n≥2时:f(
)>f(1),因为f(1)=0,所以,n≥2时:f(
)>0,就可得到
,进而证明
成立,再利用导数判断y=lnx-x在[1,+∞)上为减函数,就可得到n≥2时,ln
<
=1+
(n≥2),
进而证明
.
解答:解:(Ⅰ)由已知:f'(x)=
依题意得:
≥0对x∈[1,+∞)恒成立
∴ax-1≥0对x∈[1,+∞)恒成立
∴a-1≥0即:a≥1
(Ⅱ)∵a=1
∴f(x)=
,
∵f(x)在[1,+∞)上为增函数,
∴n≥2时:f(
)=
即:
∴
设g(x)=lnx-x x∈[1,+∞),
则
对x∈[1,+∞)恒成立,
∴g(x)在[1+∞)为减函数,∵
>1
∴n≥2时:g(
)=ln
-
<g(1)=-1<0
即:ln
<
=1+
(n≥2)
∴lnn=
综上所证:
(n∈N*且≥2)成立.
点评:本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,以及借助函数的单调性证明不等式成立,属于导数的应用.

(Ⅱ)因为f(x)=








进而证明

解答:解:(Ⅰ)由已知:f'(x)=

依题意得:

∴ax-1≥0对x∈[1,+∞)恒成立
∴a-1≥0即:a≥1
(Ⅱ)∵a=1
∴f(x)=

∵f(x)在[1,+∞)上为增函数,
∴n≥2时:f(


即:

∴

设g(x)=lnx-x x∈[1,+∞),
则

∴g(x)在[1+∞)为减函数,∵

∴n≥2时:g(



即:ln



∴lnn=

综上所证:

点评:本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,以及借助函数的单调性证明不等式成立,属于导数的应用.

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