Question

设函数f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（1）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（2）若对于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在x∈[-1，1]恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x²+3ax+4≥0成立，由此可求的取值范围；
（2）根据题意，可得函数f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）与f（-1）两者中的较大者，由此可求b的取值范围．

解答：解：（1）求导函数可得f'（x）=x（4x²+3ax+4），------（1分）
显然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根．
为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x²+3ax+4≥0成立，------（3分）
即有△=9a²-64≤0，解得-

8

3

≤a≤

8

3

．
所以a的取值范围是[-

8

3

，

8

3

]．------（6分）
（2）由条件a∈[-2，2]，可知△=9a²-64＜0，从而4x²+3ax+4＞0恒成立．------（8分）
当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．
因此函数f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）与f（-1）两者中的较大者．------（11分）
为使对任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，
当且仅当

f(1)≤1 f(-1)≤1

，即

b≤-2-a b≤-2+a

在a∈[-2，2]上恒成立．------（13分）
所以b≤-4，因此满足条件的b的取值范围是（-∞，-4]．------（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，确定函数的最值是关键．