Question

2．在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}$（其中θ为参数），点M是曲线C₁上的动点，点P在曲线C₂上，且满足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$．
（Ⅰ）求曲线C₂的普通方程；
（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=$\frac{π}{3}$，与曲线C₁，C₂分别交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设P（x，y），M（x′，y′），因为点M是曲线C₁上的动点，点P在曲线C₂上，将M坐标代入，消去θ，得到M满足的方程，再由向量共线，得到P满足的方程；
（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，分别利用极坐标方程表示两个曲线，求出A，B的极坐标，得到AB长度．

解答 解：（Ⅰ）因为点M是曲线C₁上的动点，点P在曲线C₂上，且满足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$．
设P（x，y），M（x′，y′），则x=2x′，y=2y′，并且$\left\{\begin{array}{l}{x′=1+\sqrt{3}cosθ}\\{y′=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，
消去θ得，（x′-1）²+y′²=3，
所以曲线C₂的普通方程为：（x-2）²+y²=12；
（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-2=0，将θ=$\frac{π}{3}$代入得ρ=2，∴A的极坐标为（2，$\frac{π}{3}$），曲线C₂的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ-8=0，将$θ=\frac{π}{3}$代入得ρ=4，所以B的极坐标为（4，$\frac{π}{3}$），所以|AB|=4-2=2．

点评 本题考查了将参数方程化为普通方程以及利用极坐标方程表示曲线．