Question

如图l，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点．如图2，将△ABE沿AE折起，使二面角B-AE-C成直二面角，连接BC，BD，P是棱BC的中点．
（1）在图2中求证：AE⊥BD；’
（2）EP是否平行平面BAD？并说明理由．
（3）求直线EB与平面BCD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接BD，取AE中点M，连接BM，DM，根据题意可得BM⊥AE，DM⊥AE，从而可知AE⊥平面BDM，故可得AE⊥BD
（2）EP与平面BAD不平行．取BE的中点F，连接PF，可证PF∥平面BAD，若EP∥平面BAD，所以平面BEC∥平面BAD，这与平面BAD∩平面BEC=B矛盾
（3）以M为坐标原点，分别以ME，MD，MB为x，y，z，设AE=2，则E（1，0，0），B（0，0，

3

），D（0，

3

，0），C（2，

3

，0），故

EB

=(-1，0，

3

)，

DC

=(2，0，0)，

BD

=(0，

3

，-

3

)，可求平面BCD的法向量，从而可求直线EB与平面BCD所成的角的余弦值．

解答：（1）证明：连接BD，取AE中点M，连接BM，DM．
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点
∴△ABE与△ADE都是等边三角形
∵M是AE的中点，
∴BM⊥AE，DM⊥AE   
∵BM∩DM=M，BM，DM?平面BDM
∴AE⊥平面BDM
∵BD?平面BDM
∴AE⊥BD；                  
（2）解：EP与平面BAD不平行．
取BE的中点F，连接PF
∵P是棱BC的中点
∴PF∥CE
∵AD∥CE
∴PF∥AD
∵PF?平面BAD，AD?平面BAD
∴PF∥平面BAD
若EP∥平面BAD
∵FP∩EP=P
∴平面BEC∥平面BAD
这与平面BAD∩平面BEC=B矛盾
∴EP与平面BAD不平行．
（3）解：以M为坐标原点，分别以ME，MD，MB为x，y，z，设AE=2，则
E（1，0，0），B（0，0，

3

），D（0，

3

，0），C（2，

3

，0）
∴

EB

=(-1，0，

3

)，

DC

=(2，0，0)，

BD

=(0，

3

，-

3

)
设平面BCD的法向量为

n

=(x，y，z)
∴

n • DC =(x，y，z)•(2，0，0)=0 n • BD =(x，y，z)•(0， 3 ，- 3 )=0

∴

x=0 3 y- 3 z=0

∴平面BCD的法向量可以为（0，1，1）
设直线EB与平面BCD所成的角为α，则
cos(

π

2

-α)=

n • EB

| n |•| EB |

=

(0，1，1)•(-1，0， 3 )

2 ×2

=

6

4

∴sinα=

6

4

∴cosα=

10

4

点评：本题以平面图形翻折为载体，考查线线垂直，考查线面平行，考查线面角，解题的关键是正确运用线面平行，线面垂直的判定与性质，综合性强．