Question

14、一次文艺演出，节目单上己排好10个节目，现要增加3个节目，并要求原定的10个节目的相对顺序不变，则节目单有

1716

种不同的排法（用数字作答）．

Answer 1

分析：因为要求原定的10个节目的相对顺序不变，所以解题时可以采用插入法来保障原来的顺序，可以插入的3个节目互不相邻，插入的节目有且只有2个相邻，插入的3个节目都相邻，再根据分类计数原理得到结果．

解答：解：由题意知分三类
（1）插入的3个节目互不相邻，用插空法，有A₁₁³种排法；
（2）插入的节目有且只有2个相邻，有A₃²A₁₁²种排法；
（3）插入的3个节目都相邻，先捆绑再插空，有A₃³A₁₁¹种排法．
故共有A₁₁³+A₃²•A₁₁²+A₃³A₁₁¹=1716种排法．
故答案为：1716．

点评：本题也可以这样解：先在13个位置上排3个增加的节目，再将余下的10个节目插入即可，有A₁₃¹³•1=A₁₃¹³种排法．
或是这样解：一一插入，第一个有11种，第二个有12种，第三个有13种，共有11×12×13种．