题目内容
如图所示,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥DCAB∥DC,且满足DC-DD1=2AD=2AB=2.
(1)求证:DB⊥平面B1BCC;
(2)求二面角A1-BD-C1的余弦值.

【答案】分析:(1)设E是DC的中点,连接BE,BD⊥BC,又BD⊥BB1,B1B∩BC=B,根据线面垂直的判定定理可知BD⊥平面BCC1B1;
(2)取DB的中点F,连接A1F,取DC1的中点M,连接FM,根据二面角的定义证得∠A1FM为二面角A1-BD-C1的平面角,取D1C1的中点H,连接A1H,HM,在Rt△A1HM中求出∠A1FM即可.
解答:解:(1)设E是DC的中点,连接BE,
则四边形DABE为正方形,∴BE⊥CD.故BD=
,BC=
,CD=2,
∴∠DBC=90°,即BD⊥BC.
又BD⊥BB1,B1B∩BC=B
∴BD⊥平面BCC1B1,(6分)
(2)由(I)知DB⊥平面BCC1B1,
又BC1?平面BCC1B1,∴BD⊥BC1,
取DB的中点F,连接A1F,又A1D=A1B,
则A1F⊥BD.取DC1的中点M,连接FM,则FM∥BC1,∴FM⊥BD.
∴∠A1FM为二面角A1-BD-C1的平面角.
连接A1M,在△A1FM中,A1F=
,
FM=
=
=
,
取D1C1的中点H,连接A1H,HM,在Rt△A1HM中,
∵A1H=
,HM=1,∴A1M=
.
∴cos∠A1FM=
.
∴二面角A1-BD-C1的余弦值为
.
点评:本题主要考查了直线与平面垂直,以及二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题.
(2)取DB的中点F,连接A1F,取DC1的中点M,连接FM,根据二面角的定义证得∠A1FM为二面角A1-BD-C1的平面角,取D1C1的中点H,连接A1H,HM,在Rt△A1HM中求出∠A1FM即可.
解答:解:(1)设E是DC的中点,连接BE,
则四边形DABE为正方形,∴BE⊥CD.故BD=


∴∠DBC=90°,即BD⊥BC.
又BD⊥BB1,B1B∩BC=B
∴BD⊥平面BCC1B1,(6分)

又BC1?平面BCC1B1,∴BD⊥BC1,
取DB的中点F,连接A1F,又A1D=A1B,
则A1F⊥BD.取DC1的中点M,连接FM,则FM∥BC1,∴FM⊥BD.
∴∠A1FM为二面角A1-BD-C1的平面角.
连接A1M,在△A1FM中,A1F=

FM=



取D1C1的中点H,连接A1H,HM,在Rt△A1HM中,
∵A1H=


∴cos∠A1FM=

∴二面角A1-BD-C1的余弦值为

点评:本题主要考查了直线与平面垂直,以及二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题.

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