题目内容
如图所示,已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AD⊥DC,AB∥DC,且满足 DC﹣DD1=2AD=2AB=2.
(1)求证:DB⊥平面B1BCC;
(2)求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值.
(1)求证:DB⊥平面B1BCC;
(2)求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值.

解:(1)设E是DC的中点,连接BE,
则四边形DABE为正方形,∴BE⊥CD.故BD=
,BC=
,CD=2,
∴∠DBC=90°,即BD⊥BC.
又BD⊥BB1,B1B∩BC=B ∴BD⊥平面BCC1B1,
(2)由(I)知DB⊥平面BCC1B1,
又BC1?平面BCC1B1,∴BD⊥BC1,
取DB的中点F,连接A1F,又A1D=A1B,
则A1F⊥BD.
取DC1的中点M,连接FM,
则FM∥BC1,
∴FM⊥BD.
∴∠A1FM为二面角A1﹣BD﹣C1的平面角.
连接A1M,在△A1FM中,A1F=
,FM=
=
=
,
取D1C1的中点H,连接A1H,HM,
在Rt△A1HM中,∵A1H=
,HM=1,
∴A1M=
.
∴cos∠A1FM=
.
∴二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值为
.
则四边形DABE为正方形,∴BE⊥CD.故BD=


∴∠DBC=90°,即BD⊥BC.
又BD⊥BB1,B1B∩BC=B ∴BD⊥平面BCC1B1,
(2)由(I)知DB⊥平面BCC1B1,
又BC1?平面BCC1B1,∴BD⊥BC1,
取DB的中点F,连接A1F,又A1D=A1B,
则A1F⊥BD.
取DC1的中点M,连接FM,
则FM∥BC1,
∴FM⊥BD.
∴∠A1FM为二面角A1﹣BD﹣C1的平面角.
连接A1M,在△A1FM中,A1F=




取D1C1的中点H,连接A1H,HM,
在Rt△A1HM中,∵A1H=

∴A1M=

∴cos∠A1FM=

∴二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值为



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