Question

设函数f(x)＝＋bx＋1(a、b为实数)，F(x)＝

(Ⅰ)若f(－1)＝0，且对任意实数均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围；

(Ⅲ)若f(x)是偶函数，试判断F(x)的奇偶性．

(Ⅳ)设mn＜0，m＋n＞0，且f(x)是偶函数，求证：F(m)＋F(n)＞0．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵f(－1)＝0．∴b＝a＋1 　　由f(x)≥0恒成立，知△＝－4a＝－4a＝≤0 　　∴a＝1，从而f(x)＝＋2x＋1＝ 　　∴ 　　(2)由(1)知，f(x)＝＋2x＋1，∴g(x)＝f(x)－kx＝＋(2－k)x＋1 　　由g(x)在[－2，2]上是单调函数，知：≤－2或≥2 　　∴得k≤－2或k≥6 　　(3)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，而a＞0 　　∴f(x)在(0，＋∞)是增函数 　　对于F(x)，当x＞0时，－x＜0， 　　F(－x)＝－f(－x)＝－f(x)＝－F(x) 　　x＜0时，－x＞0， 　　F(－x)＝f(－x)＝f(x)＝－F(x) 　　∴F(x)是奇函数，且F(x)在(0，＋∞)上是增函数 　　由mn＜0，知，m、n异号， 　　当m＞0，n＜0时，由m＞－n＞0知F(m)＞F(－n)＝－F(n) 　　∴F(m)＋F(n)＞0 　　当m＜0，n＞0时，由n＞－m＞0知F(n)＞F(－m)＝－F(m) 　　∴F(m)＋F(n)＞0 　　综上知：F(m)＋F(n)＞0，