Question

已知命题：“若数列{a_n}是等比数列，且a_n＞0，则数列bn=

n

a1a2… an

(n∈N*)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．

Answer 1

分析：等差数列与等比数列有很多地方相似，因此可以类比等比数列的性质猜想等差数列的性质，因此几何平均数与算术平均数正好与等比数列的二级运算及等差数列的一级运算可以类比，因此我们可以大胆猜想，数列b_n=

a1+a2+…+an

n

也是等差数列．再根据等差数列的定义对猜想进行论证．

解答：解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：
若数列{a_n}是等差数列，则数列b_n=

a1+a2+…+an

n

也是等差数列．
证明：设等差数列{a_n}的公差为d，
则b_n=

a1+a2+…+an

n

=

na1+ n(n-1)d 2

n

=a1+

d

2

(n-1)，
所以数列{b_n}是以a₁为首项，

d

2

为公差的等差数列．

点评：解答的关键是熟悉类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．