Question

我们规定：对于任意实数A，若存在数列{a_n}和实数x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…anxn-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为A=

.

x～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)

．如：A=

.

2～(-1)(3)(-2)(1)

，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（I）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式；
（II）记bn=

.

2～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)

(n∈N*)，若{a_n}是等差数列，且满足a₁+a₂=3，a₃+a₄=7，求b_n=9217时n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³，能将m表示成x进制的简记形式．
（Ⅱ）由{a_n}是等差数列，即已知条件利用通项公式即可得出a_n，利用“错位相减法”即可得出b_n，进而解出n．

解答：解：（I）由m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³=

.

x～(1)(-2)(3)(-6)

．
（Ⅱ）∵{a_n}是等差数列，设公差为d，又a₁+a₂=3，a₃+a₄=7，
∴

a1+a1+d=3 2a1+5d=7

，解得

a1=1 d=1

，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
bn=1+2×21+3×22+…+n×2^n-1，
2bn=1×2+2×22+3×23+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
两式相减得-b_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ
∴-bn=

2n-1

2-1

-n×2n，
∴bn=(n-1)×2n+1．
又b_n=9217，∴（n-1）×2ⁿ+1=9217，解得n=10．

点评：本题考查数列的递推公式即新定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设的隐含条件，合理地进行等价转化．数列掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式及其“错位相减法”是解题的关键．