(1)选修4-2:矩阵与变换已知向量在矩阵M=变换下得到的向量是．(Ⅰ)求m的值,(Ⅱ)求曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程．(2)选修4-4:极坐标与参数方程在直角坐标平面内.以坐标原点O为极点.x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标为(4.).曲线C的参数方程为．(Ⅰ)求直线OM的直角坐标方程,(Ⅱ)求点M到曲线C上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（1）选修4-2：矩阵与变换
已知向量

在矩阵M=

变换下得到的向量是

．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲线y2-x+y=0在矩阵M^-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程．
（2）选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标为（4

，

），曲线C的参数方程为

（α为参数）．
（Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
设实数a、b满足2a+b=9．
（Ⅰ）若|9-b|+|a|＜3，求x的取值范围；
（Ⅱ）若a，b＞0，且z=a²b，求z的最大值．

【答案】分析：（1）（Ⅰ）由条件可得

，由此求得m的值．
（Ⅱ）先求出 M^-1=

，设曲线 y²-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M^-1所对应的线性变换作用下的像是（x′，y′），可得

，代入曲线 y²-x+y=0化简得到结果．
（2）解：（Ⅰ）由点M的极坐标求得得点M的直角坐标为（4，4），从而得到直线OM的直角坐标方程．
（Ⅱ）由曲线C的参数方程化为普通方程为（x-1）²+y²=2，求得圆心和半径r，根据点M在曲线C外，可得点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r．
（3）把条件转化为|6-b|=2|a|，不等式|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，由此求得a的取值范围．
（Ⅱ）因为a，b＞0，可得 z=a² b=a•a•b，利用基本不等式求得z的最大值．
解答：（1）解：（Ⅰ）因为

，
所以，

，即 m=1．…（3分）
（Ⅱ）因为M=

，所以 M^-1=

．…（4分）
设曲线 y²-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M^-1所对应的线性变换作用下的像是（x′，y′），
由

，…（5分）
所以

得

代入曲线 y²-x+y=0得 y^′2=x′．…（6分）
由（x，y）的任意性可知，
曲线 y²-x+y=0在矩阵 M^-1对应的线性变换作用下的曲线方程为 y²=x．…（7分）
（2）解：（Ⅰ）由点M的极坐标为（4

，

）得点M的直角坐标为（4，4），
所以直线OM的直角坐标方程为y=x．…（3分）
（Ⅱ）由曲线C的参数方程

（α为参数）
化为普通方程为（x-1）²+y²=2，…（5分）
圆心为A（1，0），半径为r=

．
由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r=5-

．…（7分）
（3）解：（Ⅰ）由2a+b=9得9-b=2a，即|6-b|=2|a|．
所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
所以a的取值范围（-1，1）．…（4分）
（Ⅱ）因为a，b＞0，所以 z=a² b=a•a•b≤

=3³=27，…（6分）
当且仅当a=b=3时，等号成立．故z的最大值为27．…（7分）
点评：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．考查绝对不等式、不等式证明等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．属于中档题．