Question

已知椭圆C的方程是（a＞b＞0），点A，B分别是椭圆的长轴的左、右端点，左焦点坐标为（﹣4，0），且过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，试问：过P点能否引圆M的切线，若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形的面积；若不能，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为椭圆C的方程为，（a＞b＞0），
∴a²=b²+16，即椭圆的方程为，
∵点在椭圆上，
∴，解得b²=20或b²=﹣15（舍），
由此得a²=36，
所以，所求椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣6，0），F（4，0），
又，则得，
所以，即∠APF=90°，
△APF是Rt△，所以，以AF为直径的圆M必过点P，
因此，过P点能引出该圆M的切线，
设切线为PQ，交x轴于Q点，
又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM，
而，所以PQ的斜率为，
因此，过P点引圆M的切线方程为：，即
令y=0，则x=9，∴Q（9，0），又M（﹣1，0），
所以，
因此，所求的图形面积是S=S_△PQM﹣S_扇形MPF=．