Question

设x、y∈R⁺，S=x+y，P=xy，以下四个命题中正确命题的序号是

③④

．（把你认为正确的命题序号都填上）
①若P为定值m，则S有最大值2

m

；②若S=P，则P有最大值4；③若S=P，则S有最小值4；④若S²≥kP总成立，则k的取值范围为k≤4．

Answer 1

分析：对于①，当P为定值m时，利用基本不等式S应有最小值2

m

，；对于②，S=P时，xy≥2

xy

⇒

xy

≥2得出P_min=4；对于③，由x+y=xy≤

(x+y) 2

4

⇒x+y≥4⇒S_min=4；对于④，S²≥kP⇒k≤

S 2

P

，结合基本不等式得出k≤4．从而得出正确答案．

解答：解：P为定值m时，S=x+y≥2

xy

=2

m

，S应有最小值2

m

，故①不正确．
S=P时，x+y=xy⇒xy≥2

xy

⇒

xy

≥2⇒xy≥4⇒P_min=4，∴②也不正确．
由S=P⇒x+y=xy≤

(x+y) 2

4

⇒x+y≥4⇒S_min=4，∴③正确．
S²≥kP⇒k≤

S 2

P

，又

S 2

P

=

x2+y2+2xy

xy

≥

2xy+2xy

xy

=4，
∴（

S 2

P

）_min=4．∴k≤4．
∴④正确．
故答案为：③④．

点评：本小题主要考查基本不等式、函数的最大值、最小值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．