Question

设x、y∈R⁺，S=x+y，P=xy，以下四个命题中正确命题的序号是______．（把你认为正确的命题序号都填上）
①若P为定值m，则S有最大值2

m

；②若S=P，则P有最大值4；③若S=P，则S有最小值4；④若S²≥kP总成立，则k的取值范围为k≤4．

Answer 1

P为定值m时，S=x+y≥2

xy

=2

m

，S应有最小值2

m

，故①不正确．
S=P时，x+y=xy?xy≥2

xy

?

xy

≥2?xy≥4?P_min=4，∴②也不正确．
由S=P?x+y=xy≤

(x+y) 2

4

?x+y≥4?S_min=4，∴③正确．
S²≥kP?k≤

S 2

P

，又

S 2

P

=

x2+y2+2xy

xy

≥

2xy+2xy

xy

=4，
∴（

S 2

P

）_min=4．∴k≤4．
∴④正确．
故答案为：③④．