题目内容

【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,圆的极坐标方程为

(Ⅰ)求的普通方程和的直角坐标方程;

(Ⅱ)过曲线上任一点作与夹角为45°的直线,交于点,求的最大值与最小值.

【答案】(Ⅰ)的普通方程为的直角坐标方程为;(Ⅱ)最大值为12,最小值为4.

【解析】

(Ⅰ)根据解方程组的知识,将参数t消去,便可得到的普通方程;对的极坐标方程为利用三角变换展开可得,两边同时乘以,进而可得直角坐标方程;

(Ⅱ)因为两直线的夹角为45°,设的距离为,故的长度等于,要求的最值,求出的最值即可.

(Ⅰ)由的普通方程为

可得

此即的直角坐标方程

(Ⅱ)在曲线上任意取一点

的距离为

即当时,|PA|取最大值为12;

时,|PA|取最小值为4.

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