Question

已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为2

7

；③圆心在直线x-3y=0上．求圆C的方程．

Answer 1

分析：设所求的圆C与y轴相切，又与直线交于AB，由题设知圆心C（3a，a），R=3|a|，再由点到直线的距离公式和色股定理能够求出a的值，从而得到圆C的方程．

解答：解设所求的圆C与y轴相切，又与直线交于AB，
∵圆心C在直线x-3y=0上，∴圆心C（3a，a），又圆
与y轴相切，∴R=3|a|．又圆心C到直线y-x=0的距离|CD|=

|3a-a|

2

=

2

|a|．
∵
在Rt△CBD中，R2-|CD|2=(

7

)2，
∴9a²-2a²=7．a²=1，a=±1，3a=±3．
∴圆心的坐标C分别为（3，1）和（-3，-1），
故所求圆的方程为（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．

点评：本题考查圆的方程，解题时要济噗到直线的距离公式和勾股定理的合理运用．结合图形进行求解会收到良好的效果．