题目内容
已知两个命题r(x):sin x+cos x>m,s(x):x2+mx+1>0.如果对?x∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题,求实数m的取值范围.
【答案】分析:若对?x∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题,则使两个命题成立的实数m的范围,不可能同时满足,也不可能同时不满足,使两个命题成立的实数m的范围,然后构造关于m的不等式,即可得到答案.
解答:解:∵sinx+cosx=
sin(x+
)≥-
,
∴当r(x)是真命题时,m<-
.
又∵对?x∈R,s(x)为真命题,即x2+mx+1>0恒成立,有△=m2-4<0,∴-2<m<2.
∴当r(x)为真,s(x)为假时,m<-
,
同时m≤-2或m≥2,即m≤-2,
当r(x)为假,s(x)为真时,m≥-
且-2<m<2,
即-
≤m<2.
综上所述,m的取值范围是m≤-2或-
≤m<2.
点评:本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,其中使两个命题成立的实数m的范围,是解答本题的关键.
解答:解:∵sinx+cosx=
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∴当r(x)是真命题时,m<-
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又∵对?x∈R,s(x)为真命题,即x2+mx+1>0恒成立,有△=m2-4<0,∴-2<m<2.
∴当r(x)为真,s(x)为假时,m<-
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同时m≤-2或m≥2,即m≤-2,
当r(x)为假,s(x)为真时,m≥-
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即-
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综上所述,m的取值范围是m≤-2或-
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点评:本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,其中使两个命题成立的实数m的范围,是解答本题的关键.
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