Question

已知两个命题r（x）：sin x+cos x＞m，s（x）：x²+mx+1＞0．如果对?x∈R，r（x）与s（x）有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：若对?x∈R，r（x）与s（x）有且仅有一个是真命题，则使两个命题成立的实数m的范围，不可能同时满足，也不可能同时不满足，使两个命题成立的实数m的范围，然后构造关于m的不等式，即可得到答案．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≥-

2

，
∴当r（x）是真命题时，m＜-

2

．
又∵对?x∈R，s（x）为真命题，即x²+mx+1＞0恒成立，有△=m²-4＜0，∴-2＜m＜2．
∴当r（x）为真，s（x）为假时，m＜-

2

，
同时m≤-2或m≥2，即m≤-2，
当r（x）为假，s（x）为真时，m≥-

2

且-2＜m＜2，
即-

2

≤m＜2．
综上所述，m的取值范围是m≤-2或-

2

≤m＜2．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中使两个命题成立的实数m的范围，是解答本题的关键．