Question

已知函数f(x)=lg(a^x－b^x)(常数a>1>b>0)。

（1）求f(x)的定义域，并证明函数在定义域内是增函数；

（2）证明：在函数y=f(x)的图象上不存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴；

（3）当a、b满足什么关系时，f(x)在[1，+∞）上恒取正值？

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）由ax－bx>0，得ax>bx。 ∵bx>0，∴()x>1。 又a>1>b>0，∴>1，从而x>0，即函数的定义域为（0，+∞）。设x1>x2>0， ∵a>1>b>0，∴ax1>ax2，bx1<bx2，从而ax1－bx1>ax2－bx2>0.∴lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)， 即f(x1)>f(x2)。 ∴f(x)在（0，+∞）上为增函数。 （2）假若函数y=f(x)的图象上存在不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），使直线AB平行于x轴，则必有y1=y2，且x1≠x2。不妨设0<x1<x2，则由f(x)在（0，+∞）上是增函数知f(x1)<f(x2)，即y1<y2，这与y1=y2相矛盾。 综上知，函数y=f(x)的图象上不存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴。 （3）要使f(x)在[1，+∞）上恒取正值，即使不等式f(x)=lg(ax－bx)>0在x∈[1，+∞)上恒成立。 由（1）知，f(x)在[1，+∞）上是增函数，∴只需f(1)>0，即lg(a－b)>0，∴a－b>1，a>b+1时，f(x)在[1，+ ∞)恒取正值。