题目内容
【题目】已知长轴长为
的椭圆C：
的左、右焦点分别为F1、F2，且以F1、F2为直径的圆与C恰有两个公共点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若经过点F2的直线l与C交于M，N两点，且M，N关于原点O的对称点分别为P，Q，求四边形MNPQ面积的最大值.
【答案】（1）
y2＝1（2）2
【解析】
（1）由题意可得
的值及
，再由，
，
之间的关系求出，进而求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得右焦点
的坐标，由题意可得直线
的斜率不为0，设直线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由题意可得四边形
为平行四边形，所以四边形的面积等于一个三角形面积的4倍，求出三角形
的面积，由均值不等式可得面积的最大值．
解：（1）由题意可得
，且，又
，所以可得
，
，
所以椭圆的方程为：
；
（2）由（1）可得右焦点
，再由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程为
，
设
，
，
，
，联立直线与椭圆的方程可得
整理可得
，所以
，
，
由题意可得四边形
为平行四边形，
所以
，
当且仅当
即
时取等号，
所以四边形面积的最大值为
．
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