题目内容

如图,表示以AB=4 cm,BC=3 cm的长方形ABCD为底面的长方体被平面斜着截断的几何体,EFGH是它的截面.当AE=5 cm,BF=8 cm,CG=12 cm时,试回答下列问题:

(1)求DH的长;

(2)求这个几何体的体积;

(3)截面四边形EFGH是什么图形?并证明你的结论.

解:(1)过E作EB1⊥BF,则BB1=AE=5,所以B1F=8-5=3.

根据面面平行的定理,因为平面ABFE∥平面DCGH,EF和HG是它们分别与截面的交线,所以EF∥HG.

过H作HC1⊥CG,垂足为C1.则

GC1=FB1=3 cm,DH=12-3=9(cm).

(2)用一个与该几何体完全相同的几何体,倒置其上,使它们拼接组合成一个以ABCD为底,高为17 cm的长方体.设原几何体的体积为V.所以

2V=3×4×17=204(cm3),

即V=102 cm3.

(3)已知EF∥HG,同理,EH∥FG.

于是EFGH是平行四边形.

因为EF==5,过E作ED1⊥DH,则

DD1=AE=5,ED1=AD=3,HD1=9-5=4,

所以EH==5.

所以EF=EH.故EFGH是菱形.

练习册系列答案
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15、如图是表示以AB=4，BC=3的矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH为截面．已知AE=5，BF=8，CG=12．
（1）作出截面EFGH与底面ABCD的交线l；
（2）截面四边形EFGH是否为菱形？并证明你的结论；
（3）求DH的长．
（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A．（不等式选做题）不等式|
x+1
x-1
|≥1的解集是
（-∞，0]
（-∞，0]
．
B．（几何证明选做题） 如图，以AB=4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF=
2
2
．
C．（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标中，已知点P为方程ρ（cosθ+sinθ）=1所表示的曲线上一动点，Q（2，
π
3
），则|PQ|的最小值为
6
2
6
2
．
（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A．（不等式选做题）不等式的解集是    ．
B．（几何证明选做题） 如图，以AB=4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF=    ．
C．（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标中，已知点P为方程ρ（cosθ+sinθ）=1所表示的曲线上一动点，Q（2，），则|PQ|的最小值为    ．
（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A．（不等式选做题）不等式的解集是    ．
B．（几何证明选做题） 如图，以AB=4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF=    ．
C．（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标中，已知点P为方程ρ（cosθ+sinθ）=1所表示的曲线上一动点，Q（2，），则|PQ|的最小值为    ．

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