Question

把已知正整数n表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，4，1）为12的相同等差分拆．问正整数30的不同等差分拆有

19

个．

Answer 1

分析：由于30=1×30=2×15=3×10=5×6．因此可以考虑以下等差分拆．
①以10为等差中项的三个整数的分拆共有以下10个；②30等差分拆为4个数的共有以下2个；③30等差分拆为5个数的共有以下3个；
④30等差分拆为6个数的只有以下1个；⑤30等差分拆为10个数的只有以下1个；⑥30等差分拆为15个数的只有以下1个；⑦30等差分拆为30个数的只有以下1个．．

解答：解：∵30=1×30=2×15=3×10=5×6．∴可以考虑以下等差分拆．
①以10为等差中项的三个整数的分拆共有以下10个：30=1+10+19=2+10+18=…=10+10+10；
②30等差分拆为4个数的共有以下2个：6，7，8，9；3，6，9，12；
③30等差分拆为5个数的共有以下3个：6，6，6，6，6；4，5，6，7，8；2，4，6，8，10；
④30等差分拆为6个数的只有以下1个：5，5，5，5，5，5；
⑤30等差分拆为10个数的只有以下1个：3，3，…，3（共10个3）；
⑥30等差分拆为15个数的只有以下1个：2，2，…，2（共15个2）；
⑦30等差分拆为30个数的只有以下1个：1，1，…，1（共30个1）．
综上可知：正整数30的不同等差分拆共有19个．
故答案为19．

点评：把30=1×30=2×15=3×10=5×6正确分解质因数及掌握分类讨论思想方法、等差数列的定义是解题的关键．