Question

把已知正整数n表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，4，1）为12的相同等差分拆．问正整数36的不同等差分拆的个数是（　　）

A．20

B．22

C．19

D．21

Answer 1

分析：利用等差数列的定义，分公差为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12种情况写出36的所有等差拆分即可．

解答：解：由等差拆分的定义知：
当公差d=0时，等差拆分有：（1，1，…，1），（2，2，…，2），（3，3，…，3），
（4，4，…，4），（6，6，6，6，6，6），（9，9，9，9），（12，12，12）共7种；
当公差d=1时，等差拆分有（11，12，13），（1，2，3，4，5，6，7，8）；
当公差d=2时，等差拆分有（10，12，14）（6，8，10，12），（1，3，5，7，9，11）；
当公差d=3时，等差拆分有（9，12，15）；
当公差d=4时，等差拆分有（8，12，16），（3，7，11，15）；
当公差d=5时，等差拆分有（7，12，17）；
当公差d=6时，等差拆分有（6，12，18）；
当公差d=7时，等差拆分有（5，12，19）；
当公差d=8时，等差拆分有（4，12，20）；
当公差d=9时，等差拆分有（3，12，21）；
当公差d=10时，等差拆分有（2，12，22）；
当公差d=11时，等差拆分有（1，12，23）．
∴正整数36的不同等差分拆的个数是22．
故选B．

点评：本题考查等差数列的通项公式，考查学生对新感念的接受理解能力，以及用已有知识解决新问题的能力，解答的关键是做到拆分的不重不漏，属基础题．