Question

设命题甲：直线x-y=0与圆（x-a）²+y²=1有公共点；命题乙：函数f（x）=2^-|x+1|-a的图象与x轴有交点，试判断命题甲与命题乙的条件关系，并说明理由．

Answer 1

分析：根据直线与圆有公共点，用圆心到直线的距离小于圆的半径得出a的范围，再根据函数f（x）=2^-|x+1|-a的图象与x轴有交点求出a的范围，看前后推出的a的范围之间的关系．

解答：解：命题甲：直线x-y=0与圆（x-a）²+y²=1有公共点，则

|a-0|

12+12

≤1，所以-

2

≤a≤

2

．
命题乙：函数f（x）=2^-|x+1|-a的图象与x轴有交点，等价于a=2^-|x+1|有解．
∵|x+1|≥0，所以-|x+1|≤0，所以0＜2^-|x+1|≤1，因此0＜a≤1．
由0＜a≤1⇒-

2

≤a≤

2

，反之不成立，
所以命题乙⇒命题甲，但命题甲不能推出命题乙，所以命题乙是命题甲的充分不必要条件．

点评：本题考查了必要条件、充分条件鱼虫要田间的判断，判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．