题目内容

已知椭圆C1：
x2
16
+
y2
12
=1，双曲线C2与C1具有相同的焦点，且离心率互为倒数．
①求双曲线C2的方程；
②圆C：x2+y2=r2（r＞0）与两曲线C1、C2交点一共有且仅有四个，求r的取值范围；是否存在r，使得顺次连接这四个交点所得到的四边形是正方形？
分析：①依题意，设双曲线C2的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），由双曲线C2与C1具有相同的焦点，且离心率互为倒数，知
c=2
c
a
=2
，由此可求出双曲线C2的方程．
②椭圆C1的顶点为A（±4，0）、B(0，±2
3
)，双曲线C2的顶点为M（±1，0），椭圆C1与双曲线C2的交点为N（±2，±3），|ON|=
13
．所以圆C与两曲线C1、C2有且仅有四个交点，再运用曲线的对称性将问题转化从而简化计算．
解答：解：①依题意，设双曲线C2的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）
椭圆C1的离心率为
2
4
=
1
2
，焦点为F（±2，0），
所以
c=2
c
a
=2
，
解得a=1，c=2，b=
c2-a2
=
3
．
②椭圆C1的顶点为A（±4，0）、B(0，±2
3
)，双曲线C2的顶点为M（±1，0），椭圆C1与双曲线C2的交点为N（±2，±3），|ON|=
13
．
所以圆C与两曲线C1、C2有且仅有四个交点，
当且仅当1＜r＜2
3
或r=
13
或r＞4．
直线y=±x与椭圆C1的交点为P(±
4
3
7
，±
4
3
7
)，|OP|=
4
6
7
，
因为2
3
＜
4
6
7
＜4，且
4
6
7
≠
13
，
所以，以O为圆心、|OP|为半径的圆与两曲线C1、C2的交点不只四个，不合要求．
直线y=±x与双曲线C2的交点为Q(±
3
2
，±
3
2
)，|OQ|=
3
，1＜
3
＜2
3
，符合要求，
即r=
3
时，交点有且仅有四个，顺次连接这四个交点所得到的四边形是正方形．
点评：本题是椭圆、双曲线与圆的综合，解题要求先用待定系数法求轨迹方程，再数形结合讨论曲线的几何性质，第②问关键是运用曲线的对称性将问题转化从而简化计算．另外，圆锥曲线的一些数量关系常用向量表示：设椭圆C1的两个焦点为F1、F2，动点P满足
PF1
•
PF2
=
1
4
|
F1F2
•
OP
|2-7，则动点轨迹也是曲线C2．
练习册系列答案
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精英家教网定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C1：
x2
4
+y2=1．
（1）若椭圆C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判断C2与C1是否相似？如果相似，求出C2与C1的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆Cb的方程；若在椭圆Cb上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围？
（3）如图：直线y=x与两个“相似椭圆”M：
x2
a2
+
y2
b2
=1和Mλ：
x2
a2
+
y2
b2
=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分别交于点A，B和点C，D，试在椭圆M和椭圆Mλ上分别作出点E和点F（非椭圆顶点），使△CDF和△ABE组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）
（2012•上海）已知椭圆C1：
x2
12
+
y2
4
=1，C2：
x2
16
+
y2
8
=1，则（　　）
（2013•嘉兴一模）已知椭圆C1：
x2
16
+
y2
15
=1的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点以F为圆心，1为半径的圆作切线PM，PN，其中切点为M，N则四边形PMFN面积的最大值 为
2
6
2
6
．
已知椭圆C1：
x2
16
+
y2
12
=1，双曲线C2与C1具有相同的焦点，且离心率互为倒数．
①求双曲线C2的方程；
②圆C：x2+y2=r2（r＞0）与两曲线C1、C2交点一共有且仅有四个，求r的取值范围；是否存在r，使得顺次连接这四个交点所得到的四边形是正方形？

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