题目内容

设正数数列{a_n}的前n项之和为S_n满足S_n= $数学公式$
①先求出a₁，a₂，a₃，a₄的值，然后猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
②设 $数学公式$ ，数列{b_n}的前n项和为T_n．

解：①在 S_n= $\text{[math]}$ 中，令n=1可得，a₁= $\text{[math]}$ ，∴a₁=1．令n=2 可得，1+a₂= $\text{[math]}$ ，
a₂=3，同理可求，a₃=5，a₄=7．
猜测a_n=2n-1．
证明：当n=1时，猜测显然成立，假设 a_k=2k-1，
则由 a_k+1=s_k+1-s_k= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -k²，解得 a_k+1=2k+1，
故n=k+1时，猜测仍然成立，
③∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），
∴T_n= $\text{[math]}$ [（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）]= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ ．
分析：①求出数列的前若干项，归纳出一般结论，用数学归纳法证明．
③把通项 $\text{[math]}$ 裂项变为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），其前n项的和 T_n=
$\text{[math]}$ [（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）]= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）化简可得结果．
点评：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，用裂项法进行数列求和，裂项求和是解题的难点．