题目内容
设正数数列{an}的前n项和是bn，数列{bn}的前n项之积是cn，且bn+cn=1（n∈N*），则{
}的前10项之和等于
| 1 | an |
440
440
．分析：由题意可得，a1=b1=c1=
，由bn+cn=1可得bn+1=bn+1（bn+cn）=bn+1bn+bn+1Cn=bn+1bn+cn+1=bnbn+1+1-bn+1即2bn+1-bnbn+1-1=0，则bn+1-1=bn+1（bn-1）=（bn-1）（bn+1-1+1）=（bn-1）（bn+1-1）+（bn-1），从而可得
=1+
，由等差数列的通项公式可得，
=-2+(n-1)×(-1)可求 bn=
，利用递推公式an=bn-bn-1可求an
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| bn-1 |
| 1 |
| bn+1-1 |
| 1 |
| bn-1 |
| n |
| n+1 |
解答：解：由题意可得，a1=b1=c1=
bn+cn=1
∴bn+1=bn+1（bn+cn）=bn+1bn+bn+1Cn
=bn+1bn+cn+1=bnbn+1+1-bn+1
∴2bn+1-bnbn+1-1=0
∴bn+1（2-bn）=1
∴0＜bn＜2
若bn+1=1则bn=1，bn-1=bn-2=…=b1=1与 b1=
矛盾
∴bn+1≠1
∴bn+1-1=bn+1（bn-1）
=（bn-1）（bn+1-1+1）
=（bn-1）（bn+1-1）+（bn-1）
∴
=1+
∴
-
=-1且
=-2
∴{
}是以-2为首项，以-1为公差的等差数列
由等差数列的通项公式可得，
=-2+(n-1)×(-1)=-n-1
∴bn=
∴an=bn-bn-1=
-
=
∴
=n(n+1)
所以{
}的前10项之和等于12+22+…+102+（1+2+3+…+10）=440
故答案为：440．
| 1 |
| 2 |
bn+cn=1
∴bn+1=bn+1（bn+cn）=bn+1bn+bn+1Cn
=bn+1bn+cn+1=bnbn+1+1-bn+1
∴2bn+1-bnbn+1-1=0
∴bn+1（2-bn）=1
∴0＜bn＜2
若bn+1=1则bn=1，bn-1=bn-2=…=b1=1与 b1=
| 1 |
| 2 |
∴bn+1≠1
∴bn+1-1=bn+1（bn-1）
=（bn-1）（bn+1-1+1）
=（bn-1）（bn+1-1）+（bn-1）
∴
| 1 |
| bn-1 |
| 1 |
| bn+1-1 |
∴
| 1 |
| bn+1-1 |
| 1 |
| bn-1 |
| 1 |
| b1-1 |
∴{
| 1 |
| bn-1 |
由等差数列的通项公式可得，
| 1 |
| bn-1 |
∴bn=
| n |
| n+1 |
∴an=bn-bn-1=
| n |
| n+1 |
| n-1 |
| n |
| 1 |
| n(n+1) |
∴
| 1 |
| an |
所以{
| 1 |
| an |
故答案为：440．
点评：本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项，解题中的构造特殊的等差数列是解答本题的关键，对本题要求考生具备一定的逻辑退理的能力
练习册系列答案
相关题目