Question

已知圆x²+y²=8内一点P₀（-1，2），AB为过点P₀且倾斜角为α的弦．
（1）当α=135°时，求AB的长．
（2）当 弦AB最长时，求出直线AB的方程．
（3）当弦AB被点P₀平分时，求出直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）根据直线的倾斜角算出直线的斜率为-1，结合直线AB过P₀（-1，2）写出直线AB的方程，再利用点到直线的距离公式与垂径定理加以计算，即可得到弦AB的长；
（2）圆的最长的弦为直径，由此算出直线OP₀的方程，即得直线AB的方程为2x+y=0；
（3）由P₀为弦AB的中点，可得OP₀⊥AB，因此利用直线的斜率公式算出直线AB的斜率为

1

2

，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到直线AB的方程x-2y+5=0．

解答：解：（1）∵直线AB的倾斜角为α，∴直线AB的斜率k=tan135°=-1，
因此，直线AB的方程为y-2=-（x+1），即x+y-1=0
∵圆心O（0，0）到直线AB的距离d=

|-1|

1+1

=

2

2

∴弦长|AB|=2

r2-d2

=2

8- 1 2

=

30

．
（2）∵圆的最长的弦为直径，即经过圆心的弦，
∴弦AB最长时，直线AB就是以OP₀确定的直线，
其方程y=-2x，可得直线AB的方程为2x+y=0；
（3）∵P₀为弦AB的中点，OA=OB，∴OP₀⊥AB
又∵OP₀的斜率kOP0=

2-0

-1-0

=-2，
∴直线AB的斜率为：k_AB=

-1

kOP0

=

1

2

，
∴直线AB的方程为y-2=

1

2

（x+1），化简得x-2y+5=0．

点评：本题着重考查了圆的标准方程、直线的基本量与基本形式、直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．