Question

当实数a变化时，直线l₁：(2a＋1)x＋(a＋1)y＋(a－1)＝0与直线l₂：n²x＋2y＋8m－6＝0都过同一定点．

(Ⅰ)求点P(m，n)所在曲线C的方程；

(Ⅱ)设M为曲线C的准线上一点，A，B为曲线C上两点．若AB所在直线过曲线C的焦点，那么ΔABM能否为正三角形？若能，求出直线AB的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由得 　　∴　　解得x＝－2，y＝3，直线过定点(－2，3)　　　2分 　　由点(－2，3)在直线：上得 　　∴ 　　即点P(m，n)所在的曲线C的方程为　　　　　　　　　5分; 　　(Ⅱ)曲线C的焦点F(1，0)，准线为x＝， 　　当AB与x轴垂直时显然ΔABM不能为正三角形， 　　故设直线AB斜率为k(k≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2) 　　直线AB方程：y＝k(x－1)代入得 　　， 　　线段AB中点N()，　　　　　　8分 　　∵MN⊥AB，∴直线MN方程： 　　将x＝－1代入得点M坐标 　　　　　　　　　　11分 　　由ΔABM为正三角形得 　　＝，解得　　　　　　　　　　13分 　　∴ΔABM能为正三角形，直线AB的方程为．　　　　14分