题目内容
已知直线y=x-1和椭圆
+
=1（m＞1）交于A、B两点，若以AB为直径的圆过椭圆的左焦点F，则实数m的值为
| x2 |
| m |
| y2 |
| m-1 |
2+
| 3 |
2+
．| 3 |
分析：求出F的坐标，直线方程代入椭圆方程并整理，利用韦达定理，结合以AB为直径的圆过椭圆的焦点F，利用向量的数量积公式，即可求得结论．
解答：解：由题意，c=
=1，∴F（-1，0）
直线y=x-1代入椭圆
+
=1，并整理，得（2m-1）x2-2mx+2m-m2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
∴y1y2=（x1-1）（x2-1）=
∵以AB为直径的圆过椭圆的左焦点F，∴
•
=0
∴（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=0
∴
+
+1+
=0
∴m2-4m+1=0
∴m=2±
∵m＞1
∴m=2+
故答案为：2+
| a2-b2 |
直线y=x-1代入椭圆
| x2 |
| m |
| y2 |
| m-1 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| 2m |
| 2m-1 |
| 2m-m2 |
| 2m-1 |
∴y1y2=（x1-1）（x2-1）=
| -m2+2m-1 |
| 2m-1 |
∵以AB为直径的圆过椭圆的左焦点F，∴
| FA |
| FB |
∴（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=0
∴
| 2m-m2 |
| 2m-1 |
| 2m |
| 2m-1 |
| -m2+2m-1 |
| 2m-1 |
∴m2-4m+1=0
∴m=2±
| 3 |
∵m＞1
∴m=2+
| 3 |
故答案为：2+
| 3 |
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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=1(m＞0)交于点A和B,若以AB为直径的圆过椭圆的焦点F,则实数m的值为( )
B.2-
C.
-1 D.
+1
（m＞1）交于A、B两点，若以AB为直径的圆过椭圆的左焦点F，则实数m的值为________．
（m＞1）交于A、B两点，若以AB为直径的圆过椭圆的左焦点F，则实数m的值为 ．