题目内容

平面直角坐标系下，点P（（x，y）满足 $数学公式$ ，线段AB是圆x²+（y+2）²=1的任意一条直径，则PA•PB的最小值为________．

$\text{[math]}$
分析：先画出满足条件 $\text{[math]}$ 的平面区域，再把 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的最小值转化为圆心到可行域内的点的距离的最小值即可．
解答：

解：设P（x，y），线段 AB是 x²+（y+2）²=1的任意直径，
C（0，-2）为圆心，如图，
$\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
=（ $\text{[math]}$ ）²-（ $\text{[math]}$ ）²
=| $\text{[math]}$ |²-1，
P满足 $\text{[math]}$ ，
结合图形，只须求出圆心C到直线x+2y-5=0的距离d即为| $\text{[math]}$ |
的最小值，
d= $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的最小值=（ $\text{[math]}$ ）²-1= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与C之间的距离问题．