Question

设t＞0，已知函数f （x）=x²（x-t）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求函数f （x）的单调区间；
（2）设函数y=f（x）在点P（x，y）处的切线的斜率为k，当x∈（0，1]时，k≥-恒成立，求t的最大值；
（3）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y=f（x）的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由导数大于0可求单调递增区间，导数小于0可求单调递减区间；
（2）当x∈（0，1]时，k≥-恒成立，转化为即t≤，x∈（0，1]只需求其最小值；
（3）由题意画出图象，用距离相等可求t的值．
解答：解：（1）∵函数f （x）=x²（x-t）=x³-tx²，∴f′（x）=3x²-2tx=x（3x-2t）
令x（3x-2t）＜0，解得0＜x＜，（t＞0）；令x（3x-2t）＞0，解得x＜0，或x＞，
故函数f （x）的单调递减区间为（0，）；单调递增区间为（-∞，0）和（，+∞）．
（2）由题意及（1）知，k=f′（x）=3x²-2tx，x∈（0，1]，k≥-恒成立
即当x∈（0，1]时，3x²-2tx≥-恒成立，即t≤，x∈（0，1]
即函数g（x）=，x∈（0，1]只需求出其最小值即可，
g（x）==≥2=，当且仅当，
即x=∈（0，1]时，取到等号，故可得t≤
故t的最大值为：
（3）由以上可知f（x）的图由f（）=-即C（，）B（t，0）
由于四边形ABCD为菱形，故|AB|=|BC|即t=解得t=
故t的值为：
点评：本题为导数的综合应用，设计单调区间的求解，恒成立问题以及由性质画图象，属中档题．