题目内容
f(x)=
其中a＞0
（1）若f（x）在R上连续，求c
（2）若要使
f(x)=0，则a与b应满足哪些条件？
（3）若对于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的单调减函数，求b的范围．
|
（1）若f（x）在R上连续，求c
（2）若要使
| lim |
| x→+∞ |
（3）若对于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的单调减函数，求b的范围．
分析：（1）：由f（x）在R上连续，可得
f(x)=
f(x)=1，从而可求c
（2）b＜0，显然不成立，则b＞0，对所求的式子
-bx进行分子有理化，进而可求得极限为0时a，b的关系
（3）由对于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的单调减函数可得f′（x）≤0在x∈[0，+∞），a∈[2，3]时恒成立，分离可得b≥
在x∈[0，+∞），a∈[2，3]时恒成立，通过求解
的最大值可求b的范围
| lim |
| x→0+ |
| lim |
| x→0- |
（2）b＜0，显然不成立，则b＞0，对所求的式子
| ax2+1 |
（3）由对于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的单调减函数可得f′（x）≤0在x∈[0，+∞），a∈[2，3]时恒成立，分离可得b≥
| ax | ||
|
| ax | ||
|
解答：解：（1）：因为f（x）在R上连续，所以
f(x)=
f(x)=1
∴c=1
（2）若b＜0，则显然不成立
∵
f(x)=
-bx=
=
故当且仅当b＞0，且a=b2时
f(x)=0
（3）∵对于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的单调减函数
即f′（x）≤0在x∈[0，+∞），a∈[2，3]时恒成立
∴(
)′-b≤0
∴b≥
在x∈[0，+∞），a∈[2，3]时恒成立
因为
=
＜
=
≤
∴b≥
| lim |
| x→0+ |
| lim |
| x→0- |
∴c=1
（2）若b＜0，则显然不成立
∵
| lim |
| x→+∞ |
| lim |
| x→+∞ |
| ax2+1 |
| lim |
| x→+∞ |
| ax2+1-b2x2 | ||
|
=
| lim |
| x→+∞ |
(a-b2) +
| ||||||||
|
故当且仅当b＞0，且a=b2时
| lim |
| x→+∞ |
（3）∵对于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的单调减函数
即f′（x）≤0在x∈[0，+∞），a∈[2，3]时恒成立
∴(
| ax2+1 |
∴b≥
| ax | ||
|
因为
| ax | ||
|
| a | ||||
|
| a | ||
|
| a |
| 3 |
∴b≥
| 3 |
点评：本题主要考查了函数的连续的定义的应用，∞-∞型的极限的求解，一般的 处理方法是进行分子有理化，及函数的导数与函数的单调性的关系，属于函数知识的综合应用
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