题目内容

若函数f(x)=
ax2+1   (x≥0)
(a2-1)eax(x＜0)
是R上的单调递增函数，则a的取值范围是
 
．
分析：结合函数的图象分析知，函数f(x)=
ax2+1   (x≥0)
(a2-1)eax(x＜0)
是R上的单调递增函数，必有a＞0，1≥a2-1＞0三个同时成立，由此可以解出a的取值范围
解答：解：函数f(x)=
ax2+1   (x≥0)
(a2-1)eax(x＜0)
是R上的单调递增函数，
故有
a＞0
a2-1＞0
1≥a2-1

即
a＞0
a 2＞1
2≥a2
解得1＜a≤
2
，即a的取值范围是（1，
2
]
故答案为（1，
2
]．
点评：考查分段函数的单调性，函数在R上是增函数，故必有x≤0上的最大值小于x≥0上的最小值，此结论在解题中易被忽略导致错误，解题时需谨记．
练习册系列答案
相关题目
下列三个命题：
①若函数f（x）=sin（2x+φ）的图象关于y轴对称，则φ=
π
2
；
②若函数f(x)=
ax-2
x-1
的图象关于点（1，1）对称，则a=1；
③函数f（x）=|x|+|x-2|的图象关于直线x=1对称．
其中真命题的序号是
 
．（把真命题的序号都填上）
已知a＞1，若函数f(x)=
ax，-1＜x≤1
f(x-2)+a-1，1＜x≤3
，则f[f（x）]-a=0的根的个数最多有（　　）
若函数f(x)=
ax，(x＞1)
(4-
a
2
)x+2，(x≤1)
是R上的单调函数，则实数a取值范围为（　　）
（2012•资阳一模）已知函数f（x）=2lnx-x2+ax，a∈R．
（1）当a=2时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线的方程；
（2）若函数f(x)-ax+m=0在[
1e
，e]上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象与x轴交于不同的点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：f′（px1+qx2）＜0（其中实数p，q满足0＜p≤q，p+q=1）
若函数f(x)=
ax(x＞1)
(4-
a
2
)x+2(x≤1)
对于R上的任意x1≠x2都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0，则实数a的取值范围是
 
．

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