题目内容
【题目】设为坐标原点,动点在圆上,过作轴的垂线,垂足为,点满足.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)直线上的点满足.过点作直线垂直于线段交于点.
(ⅰ)证明:恒过定点;
(ⅱ)设线段交于点,求四边形的面积.
【答案】(1)(2)(ⅰ)证明见解析;(ⅱ).
【解析】
(1)设,则,根据向量关系坐标化可得,消去可得轨迹的方程;
(2)(ⅰ)设,根据直线垂直,向量的数量积为0可得:,设直线方程为,化简即可得到直线过定点坐标;
(ⅱ)根据直线与圆相交的弦长公式求出,,再根据对角线相乘的半,求得四边形的面积.
(1)设,则
∵,又,,
∴
又,∴,化简得点的轨迹方程为
(2)(ⅰ)设,
∵,∴
又,∴ ①
又直线过点且垂直于线段,故设直线方程为
化简得,又由①式可得,所以恒过定点
(ⅱ)直线为,交圆于两点
则圆心到直线的距离为,
∴弦长,
又直线为,由得,
故,
∴,即四边形的面积
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