题目内容
【题目】设为坐标原点,动点
在圆
上,过
作
轴的垂线,垂足为
,点
满足
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)直线上的点
满足
.过点
作直线
垂直于线段
交
于点
.
(ⅰ)证明:恒过定点;
(ⅱ)设线段交
于点
,求四边形
的面积.
【答案】(1)(2)(ⅰ)证明见解析;(ⅱ)
.
【解析】
(1)设,则
,根据向量关系坐标化可得
,消去
可得轨迹
的方程;
(2)(ⅰ)设,根据直线垂直,向量的数量积为0可得:
,设直线
方程为
,化简即可得到直线过定点坐标;
(ⅱ)根据直线与圆相交的弦长公式求出,
,再根据对角线相乘的半,求得四边形的面积.
(1)设,则
∵,又
,
,
∴
又,∴
,化简得点
的轨迹
方程为
(2)(ⅰ)设,
∵,∴
又,∴
①
又直线过点
且垂直于线段
,故设直线
方程为
化简得,又由①式可得
,所以
恒过定点
(ⅱ)直线为
,交圆
于
两点
则圆心到直线的距离为,
∴弦长,
又直线为
,由
得
,
故,
∴,即四边形
的面积
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