题目内容

例4．若正数a，b，c满足a+b+c=1，求证： $数学公式$ ．

解：∵若正数a，b，c满足a+b+c=1
∴设a= $\text{[math]}$ +x，b= $\text{[math]}$ +y，c= $\text{[math]}$ +z（其中x+y+z=0）
∴a²+b²+c²= $\text{[math]}$ +2（x+y+z）+x²+y²+z²≥ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥3× $\text{[math]}$
又∵1=a+b+c≥ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥3× $\text{[math]}$ ≥27
∴ $\text{[math]}$
=a²+b²+c²+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +6
≥ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：首先根据题意设出a，b，c的值，然后分别分析a²+b²+c²，与 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的取值范围，最后化简 $\text{[math]}$ 即可求证结论成立．
点评：本题考查不等式的证明，通过对需要证明的不等式进行化简，分块进行证明．涉及基本不等式以及不等式的转换，需要对知识熟练掌握并运用，属于基础题．