Question

下列命题中：
①集合A={ x|0≤x＜3且x∈N }的真子集的个数是8；
②关于x的一元二次方程x²+mx+2m+1=0一个根大于1，一个根小于1，则实数m的取值范围；
③函数f（x）=x²+（3a+1）x+2a在 （-∞，4）上为减函数，则实数a的取值范围是a≤3；
④已知函数y=4^x-4•2^x+1（-1≤x≤2），则函数的值域为[，1]；
⑤定义在（-1，0）的函数f（x）=log_（2a）（x+1）满足f（x）＞0的a的取值范围是（0，）；
⑥将三个数：x=2^0.2，y=，z=，
按从大到小排列正确的是z＞x＞y，其中正确的有     ．

Answer 1

【答案】分析：①不正确，因为含三个元素的集合其真子集共有2³-1=7 个．②正确，因为由题意知，1对应的函数值小于0，解得m＜-，
③不正确，因为由4≤-解得 a≤-3． 
④不正确，因为≤2^x≤4，函数y=（2^x-2）²-3，当 2^x=2时，函数有最小值-3，当 2^x=4时，函数有最大值 1．
⑤正确，因为log_（2a）（x+1）＞0，0＜x+1＜1，故 0＜2a＜1．
⑥不正确，因为 1＜2^0.2＜2，0＜＜1，＜0，故x＞y＞z．
解答：解：①不正确，因为集合A中含有0、1、2三个元素，其所有子集共8个，其中真子集有7个．
对于②，∵关于x的一元二次方程x²+mx+2m+1=0一个根大于1，一个根小于1，令f（x）=x²+mx+2m+1=0，
则f（1）=2+3m＜0，∴m＜-，故②正确．
对于③，f（x）=x²+（3a+1）x+2a在 （-∞，4）上为减函数时，4≤-，∴a≤-3，故③不正确．
对于④，函数y=4^x-4•2^x+1（-1≤x≤2）=（2^x-2）²-3，∵-1≤x≤2，≤2^x≤4，
故当 2^x=2时，函数有最小值-3，当 2^x=4时，函数有最大值 1，故函数的值域[-3，1]，故④不正确．
对于⑤，在（-1，0）上的函数f（x）=log_（2a）（x+1）满足f（x）＞0，∴0＜x+1＜1，
∴0＜2a＜1，∴0＜a＜，故⑤正确．
对于⑥，∵1＜2^0.2＜2，0＜＜1，＜0，故 x＞y＞z，故⑥不正确．
综上，只有②⑤正确，故答案为 ②⑤．
点评：本题考查函数的单调性和值域，一元二次方程根的分布，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．