Question

设{a_n}和{b_n}均为无穷数列．
（1）若{a_n}和{b_n}均为等比数列，试研究：{a_n+b_n}和{a_nb_n}是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前n项和公式．
（2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前n项和公式（用首项与公差表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）讨论两数列的公比，根据等比数列的性质可判定{a_n+b_n}和{a_nb_n}是否是等比数列，然后利用等比数列的求和公式解之即可；
（2）利用等比中的乘类比到等差中的和，讨论公差是否为0，从而求出相应的等差数列的前n项和公式．
解答：解：（1）①设c_n=a_n+b_n，
则-（+）（+）
=a₁b₁（q₁-q₂）2
当q₁=q₂时，对任意的n∈N，n≥2，=c_n+1c_n-1恒成立，
故{a_n+b_n}为等比数列；        （3分）
∴S_n=（1分）
当q₁≠q₂时，
对任意的n∈N，n≥2，≠c_n+1c_n-1，{a_n+b_n}不是等比数列．（2分）
②设d_n=a_nb_n，
对于任意n∈N^*，，{a_nb_n}是等比数列． （3分）
S_n=  （1分）
（2）设{a_n}，{b_n}均为等差数列，公差分别为d₁，d₂，则：
①{a_n+b_n}为等差数列；S_n=（a₁+b₁）n+（d₁+d₂）（2分）
②当d₁与d₂至少有一个为0时，{a_nb_n}是等差数列，（1分）
若d₁=0，S_n=a₁b₁n+a₁d₂；（1分）
若d₂=0，S_n=a₁b₁n+b₁d₁．（1分）
③当d₁与d₂都不为0时，{a_nb_n}一定不是等差数列．（1分）
点评：本题主要考查了类比推理，以及等比数列与等差数列的判定，同时考查了计算能力和分析求解的能力，属于基础题．