Question

已知焦点在y轴上的椭圆C₁：=1经过A（1，0）点，且离心率为．
（I）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）过抛物线C₂：y=x²+h（h∈R）上P点的切线与椭圆C₁交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与y轴平行时，求h的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆C₁：=1经过A（1，0）点，且离心率为，建立方程，即可求得椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设P（t，t²+h），利用导数可得MN的方程为 y=2tx-t²+h，代入椭圆方程，消元可得 4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0，从而△=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0；设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用线段MN与PA的中点分别为G、H，GH与y轴平行，可得MN中点横坐标与线段PA的中点横坐标相等，可建立等式，从而可得函数关系式，再利用基本不等式，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=1，（2分）
所以椭圆C₁的方程为 ．（4分）
（Ⅱ）设P（t，t²+h），由 y′=2x，
抛物线C₂在点P处的切线的斜率为 k=y′|_x=t=2t，
所以MN的方程为 y=2tx-t²+h，（5分）
代入椭圆方程得 4x²+（2tx-t²+h）²-4=0，
化简得 4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0
又MN与椭圆C₁有两个交点，故△=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中点横坐标为x，则，（8分）
设线段PA的中点横坐标为，
由已知得x=x₃即 ，②（10分）
显然t≠0，③
当t＞0时，，当且仅当t=1时取得等号，此时h≤-3不符合①式，故舍去；
当t＜0时，，当且仅当t=-1时取得等号，此时h≥1，满足①式．
综上，h的最小值为1．（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查函数关系式的建立，考查利用基本不等式求函数的最值，解题的关键是确定函数关系式，属于中档题．