Question

问题：过点M（2，1）作一斜率为1的直线交抛物线y²=2px（p＞0）于不同的两点A，B，且点M为AB的中点，求p的值．请阅读某同学的问题解答过程：
解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，两式相减，得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂）．又，y₁+y₂=2，因此p=1．
并给出当点M的坐标改为（2，m）（m＞0）时，你认为正确的结论：    ．

Answer 1

【答案】分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，两式相减，得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂）．又，y₁+y₂=2m所以p=m，将直线方程与抛物线的方程联立，判别式大于0求出m的范围．
解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
两式相减，得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂）．
又，y₁+y₂=2m
所以
所以p=m
因为消去x得
y²-2py+2pm-4p=0
即y²-2my+2m²-4m=0
△=4m²-4（2m²-4m）＞0
解得0＜m＜4
故答案为：p=m（0＜m＜4）
点评：解决直线与圆锥曲线相交有关弦中点的问题，常利用点差法来解决，但注意需要将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，判别式大于0．