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（2012•四川）椭圆
x2
a2
+
y2
5
=1(a为定值，且a＞
5
)的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是
2
3
2
3
．
分析：先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率．
解答：解：设椭圆的右焦点E．如图：
由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，当AB过点E时取等号；
∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a；
∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3；
∴e=
c
a
=
a2-b2
a
=
2
3
．
故答案：
2
3
．
点评：本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．
练习册系列答案
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（2012•四川）已知函数f(x)=cos2
x
2
-sin
x
2
cos
x
2
-
1
2
．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若f(α)=
3
2
10
，求sin2α的值．
（2012•四川）椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是
3
3
．
（2012•四川）设函数f（x）=（x-3）3+x-1，{an}是公差不为0的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，则a1+a2+…+a7=（　　）
（2012•四川）记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1．设a为正整数，数列{xn}满足x1=a，xn+1=[
xn+[
a
xn
]
2
](n∈N*)，现有下列命题：
①当a=5时，数列{xn}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn=xk；
③当n≥1时，xn＞
a
-1；
④对某个正整数k，若xk+1≥xk，则xk=[
a
]．
其中的真命题有
①③④
①③④
．（写出所有真命题的编号）

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