Question

已知椭圆的中心在原点，一个焦点F₁（0，-2

2

），且离心率e满足：

2

3

，e，

4

3

成等比数列．
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=-

1

2

平分．若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用离心率e满足：

2

3

，e，

4

3

成等比数列，可求离心率，结合焦点F₁（0，-2

2

），求出几何量，即可求椭圆方程；
（2）假设存在直线l，设出方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合根的判别式，即可得到结论．

解答：解：（1）依题意，∵

2

3

，e，

4

3

成等比数列，∴e=

2 2

3

．
又F₁（0，-2

2

），c=2

2

，∴a=3，
∴b=

a2-c2

=1，
∴所求方程为x²+

1

9

y²=1
（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=-

1

2

平分，
∴直线l的斜率存在．
设直线l：y=kx+m，则
由

y=kx+m x2+ y2 9 =1

消去y，整理得（k²+9）x²+2kmx+m²-9=0
∵l与椭圆交于不同的两点M，N，
∴△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0，即m²-k²-9＜0①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

2km

k2+9

∴

x1+x2

2

=

-km

k2+9

=-

1

2

，∴m=

k2+9

2k

②
把②代入①式中得

(k2+9)2

4k2

-（k²+9）＜0
∴k＞

3

或k＜-

3

∴直线l倾斜角α∈（

π

3

，

π

2

）∪（

π

2

，

2π

3

）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．