题目内容

已知 $数学公式$ ，函数y=f（x）与函数y=g（x）满足如下对应关系：当点（x，y）在y=f（x）的图象上时，点 $数学公式$ 在y=g（x）的图象上，且f（0）=0，g（-1）=1．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）指出函数y=g（x）的单调递增区间，并用单调性定义证明之．

解：（1）由题意可得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，x∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
故必有2y= $\text{[math]}$ ，即y= $\text{[math]}$ ，
故函数y=g（x）的解析式为：g（x）= $\text{[math]}$ ；
（2）由（1）可知，函数y=g（x）的单调递增区间为（ $\text{[math]}$ ，0），
任取x₁，x₂∈（ $\text{[math]}$ ，0），且x₁＜x₂，
由复合函数的单调性可知，只需证明函数m（x）=10-9x²在区间（ $\text{[math]}$ ，0）上单调递增，
则有m（x₁）-m（x₂）=（ $\text{[math]}$ ）-（ $\text{[math]}$ ）
=9（x₂+x₁）（x₂-x₁），
∵x₁，x₂∈（ $\text{[math]}$ ，0），且x₁＜x₂，
∴x₂+x₁＜0，x₂-x₁＞0，∴9（x₂+x₁）（x₂-x₁）＜0，
故m（x₁）＜m（x₂），
故函数y=g（x）的单调递增区间为（ $\text{[math]}$ ，0），
分析：（1）由题意可得关于ab的方程组，解之可得函数f（x）的解析式，进而可得g（x）的解析式；
（2）可知函数的单调递增区间为（ $\text{[math]}$ ，0），由复合函数的单调性，只需证明函数m（x）=10-9x²在区间（ $\text{[math]}$ ，0）上单调递增即可，由单调性的定义可证．
点评：本题考查函数解析式的求解，涉及函数单调性的判断与证明，属基础题．