题目内容

甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2
(1)求ξ,η的分布列
(2)求ξ,η的数学期望与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.
【答案】分析:(1)由题意利用题中的条件已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,可以得到:0.5+3a+a+0.1=1解出a的值,再有随机变量ξ,η的意义得到相应的分布列;
(2)由于(1)中求得了随机变量的分布列,利用期望与方差的定义与二则的实际含义即可.
解答:解:(1)依题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1,
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,
乙射中7环的概率,1-(0.3+0.3+0.2)=0.2,
ξ,η的分布列为:
ξ10987
P0.50.30.10.1
η10987
P0.30.30.20.2

(2)利用期望定义得:Eξ=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,
                     Eη=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,
                    Dξ=0.5×(10-9.2)2+0.3×(9-9.2)2+0.1×(8-9.2)2+0.1×(7-9.2)2=0.96,
                    Dη=0.3×(10-8.7)2+0.3×(9-8.7)2+0.2×(8-8.7)2+0.2×(7-8.7)2=1.21,
利用期望与方差的几何含义可知:甲选手的平均成绩比乙的优秀且成绩相对稳定.
点评:此题考查了随机变量的分布列,期望与方差的计算公式及几何含义,注意计算时的准确度及公式使用的正确性.
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