Question

平面直角坐标系xOy中，已知向量

AB

=(6，1)，

BC

=(x，y)，

CD

=(-2，-3)，且

AD

∥

BC

．
（1）求x与y之间的关系式；
（2）若

AC

⊥

BD

，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）由

AD

∥

BC

，结合向量平行的坐标表示可得（x+4）y-（y-2）x=0，可求
（2）由

AC

⊥

BD

，可得

AC

•

BD

=0，结合（1）的关系式可求x，y，代入四边形的面积公式可求

解答：解（1）由题意得

AD

=

AB

+

BC

+

CD

=(x+4，y-2)，

BC

=(x，y)，…2分
因为

AD

∥

BC

，
所以（x+4）y-（y-2）x=0，即x+2y=0，①…4分
（2）由题意得

AC

=

AB

+

BC

=(x+6，y+1)，

BD

=

BC

+

CD

=(x-2，y-3)，…6分
因为

AC

⊥

BD

，
所以（x+6）（x-2）+（y+1）（y-3）=0，即x²+y²+4x-2y-15=0，②…8分
由①②得

x=2 y=-1

或

x=-6 y=3.

…10分
当

x=2 y=-1

时，

AC

=(8，0)，

BD

=(0，-4)，
则S四边形ABCD=

1

2

|

AC

||

BD

|=16…12分
当

x=-6 y=3

时，

AC

=(0，4)，

BD

=(-8，0)，
则S四边形ABCD=

1

2

|

AC

||

BD

|=16…14分
所以，四边形ABCD的面积为16

点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示，向量数量积的性质的应用，属于基础试题．