Question

13．已知函数f（x）=px³+x²+4x（常数p≠0）在x=x₁处取得极大值M．
（1）当M=-4时，求p的值；
（2）记f（x）=px³+x²+4x在x∈[-5，5]上的最小值为N，若N≥-5，求p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=3px²+2x+4，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{f′（{x}_{1}）=3p{x}_{1}^{2}+2{x}_{1}+4=0}\\{f（{x}_{1}）=p{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{1}}^{2}+4{x}_{1}=-4}\end{array}\right.$，从而解得；
（2）①当p＞0时，函数为“增-减-增”型函数，从而结合（1）可得0＜p≤$\frac{2}{27}$；
②当p＜0时，函数为“减-增-减”型函数，从而可化为f（5）≥-5，且f（x₁）≥-5，从而解得．

解答 解：（1）∵f（x）=px³+x²+4x，
∴f′（x）=3px²+2x+4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（{x}_{1}）=3p{x}_{1}^{2}+2{x}_{1}+4=0}\\{f（{x}_{1}）=p{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{1}}^{2}+4{x}_{1}=-4}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{p=0}\end{array}\right.$（舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-6}\\{p=\frac{2}{27}}\end{array}\right.$；
故p=$\frac{2}{27}$．
（2）①当p＞0时，函数为“增-减-增”型函数，
由（1）知，当M=-4时，p=$\frac{2}{27}$，
该函数在x₂=-3时有极小值-5，
故当p=$\frac{2}{27}$时，f（x）_min=-5，恰为临界值；
要使N≥-5，则f（x₂）≥-5，
故0＜p≤$\frac{2}{27}$；
②当p＜0时，函数为“减-增-减”型函数，
且f′（x）=3px²+2x+4，
易知方程f′（x）=0的两根一正一负，
不妨设x₁＜0＜x₂，
∵f′（0）=4，f′（-5）=75p-6＜0，
故-5＜x₁＜0；
要使f（x）_min=N≥-5，
只需使f（5）≥-5，且f（x₁）≥-5，
解得，-$\frac{2}{5}$≤p＜0．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的解答方法，同时考查了分类讨论的思想．