Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都是整数，前n项和为S_n，若a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，设bn=

1

nan

，则使b1+b2+…+bn＜

99

100

成立的最大n值为（　　）

• A、97
• B、98
• C、99
• D、100

Answer 1

分析：先由等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都是整数，前n项和为S_n，若a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，设求出数列{a_n}的首项及公差，进而求出其通项，再代入求出新数列的通项，利用裂项相消求和法求出新数列的和，再解不等式即可求出结论．

解答：解：因为a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，
所以：a₁+3d＞3，3a₂≤9?d＞

2

3

，a₁+d≤3?a₁≤3-d＜3-

2

3

=

7

3

=2

1

3

．
∵等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都是整数
∴a₁=2；?

1

3

＜d≤1?d=1．
∴a_n=2+1×（n-1）=n+1．
∴b_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

即

n

n+1

＜

99

100

?n＜99．故满足条件的最大n值为98．
故选B．

点评：解决本题的关键在于利用已知条件求出数列{a_n}的首项及公差，进而求出其通项．