Question

某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD=BD=14，BC=10，AC=16，∠C=∠D．
（I）求AB的长度；
（Ⅱ）若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理，计算AB，在△ABD中，由余弦定理及∠C=∠D，计算AB，由此可得cosC=

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，进而可得△ABD是等边三角形，从而可求A、B两点的距离；
（Ⅱ）小李的设计符合要求．由已知建造费用与用地面积成正比，故选择建造环境标志费用较低，即用地面积较少．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得AB²=AC²+BC²-2AC•BCcosC=16²+10²-2•16•10cosC①
在△ABD中，由余弦定理及∠C=∠D整理得AB²=AD²+BD²-2AD•BDcosD=14²+14²-2•14²cosC②（2分）
由①②得：14²+14²-2•14²cosC=16²+10²-2•16•10cosC
整理可得 cosC=

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，（4分）
又∠C为三角形的内角，所以C=60°，
∵∠C=∠D，AD=BD，∴△ABD是等边三角形，
∴AB=14，即A、B两点的距离为14（6分）
（Ⅱ）小李的设计符合要求．
理由如下：S△ABD=

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AD•BDsinDS△ABC=

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AC•BCsinC
因为AD•BD＞AC•BC（10分）
所以S_△ABD＞S_△ABC
由已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低．
即小李的设计符合要求．（12分）

点评：本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．