题目内容
已知F1（-1，0）、F2（1，0）为椭圆的焦点，且直线x+y-
=0与椭圆相切．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过F1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF2的面积S的最大值，并求此时直线的方程．
| 7 |
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过F1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF2的面积S的最大值，并求此时直线的方程．
分析：（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为
+
=1，由直线与椭圆相切知，直线方程与椭圆方程构成的方程组只有一解，消y后由△=0即可解得a2值，注意a的范围；
（Ⅱ）设过F1的直线：x=my-1，代入
+
=1消去x并整理得（3m2+4）y2-6my-9=0，S△ABF2=
×2c|y1-y2|=|y1-y2|=
，由韦达定理即可用m表示出S△ABF2，换元后根据函数单调性即可求得面积的最大值及此时m值；
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| a2-1 |
（Ⅱ）设过F1的直线：x=my-1，代入
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| (y1+y2)2-4y1y2 |
解答：解：（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为
+
=1，
由x+y-
=0得y=
-x，代入
+
=1消去y并整理得，（(2a2-1)x2-2
a2x+8a2-a4=0，
由△=28a4-4（2a2-1）（8a2-a4）=8a2（a4-5a2+4）=0，解得a2=1或a2=4，
因为a2＞1，所以a2=4，
所以椭圆方程为：
+
=1．
（Ⅱ）设过F1的直线：x=my-1，代入
+
=1消去x并整理得（3m2+4）y2-6my-9=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=
，y1y2=
，
所以|y1-y2|=
=
，
S△ABF2=
×2c|y1-y2|=|y1-y2|=
=
，
令t=
，则t≥1，S△ABF2=
，
又(3t+
)′=3-
＞0，所以3t+
递增，(3t+
)min=3×1+1=4，当t=1即m=0时取等号，
所以S△ABF2≤
=3，
当m=0时，面积S最大为3，此时直线方程为x=-1．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| a2-1 |
由x+y-
| 7 |
| 7 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| a2-1 |
| 7 |
由△=28a4-4（2a2-1）（8a2-a4）=8a2（a4-5a2+4）=0，解得a2=1或a2=4，
因为a2＞1，所以a2=4，
所以椭圆方程为：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）设过F1的直线：x=my-1，代入
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=
| 6m |
| 3m2+4 |
| -9 |
| 3m2+4 |
所以|y1-y2|=
| ||
| 3m2+4 |
12
| ||
| 3m2+4 |
S△ABF2=
| 1 |
| 2 |
12
| ||
| 3m2+4 |
| 12 | ||||||
3
|
令t=
| m2+1 |
| 12 | ||
3t+
|
又(3t+
| 1 |
| t |
| 1 |
| t2 |
| 1 |
| t |
| 1 |
| t |
所以S△ABF2≤
| 12 |
| 4 |
当m=0时，面积S最大为3，此时直线方程为x=-1．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查函数思想在解决问题中的应用，属中档题．
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