Question

（2013•蚌埠二模）已知数列a，b，c是各项均为正数的等差数列，公差为d（d＞0），在a，b之间和b，c之间共插入n个实数，使得这n+3个数构成等比数列，其公比为q．
（I）求证：|q|＞1；
（II）若a=1，n=1，求d的值．

Answer 1

分析：（1）先由条件求出知qn+2=

c

a

，又有c=a+2d代入即可得|qⁿ⁺²|＞1，就可证明结论；
（2）先求出b=1+d，c=1+2d，然后对插入的数分所在位置所存在的两种情况分别求出d的值即可．

解答：解：（1）由题意知qn+2=

c

a

，c=a+2d，
又a＞0，d＞0，可得qn+2=

c

a

=1+

2d

a

＞1
即|qⁿ⁺²|＞1，故|q|ⁿ⁺²＞1，又n+2是正数，故|q|＞1．
（2）由a，b，c是首项为1、公差为d的等差数列，故b=1+d，c=1+2d，
若插入的这一个数位于a，b之间，则1+d=q²，1+2d=q³，
消去q可得（1+2d）²=（1+d）³，即d³-d²-d=0，其正根为d=

1+ 5

2

若插入的这一个数位于b，c之间，则1+d=q，1+2d=q³，
消去q可得1+2d=（1+d）³，即d³+3d²+d=0，此方程无正根．
故所求公差d=

1+ 5

2

点评：本题综合考查等差数列与等比数列的基础知识以及分类讨论思想在解题中的应用．